Картографическая шутка от Шелдона Купера

Картографическая шутка от Шелдона Купера

В одной из серий «Теории большого взрыва» на Шелдоне футболка с принтом карты в проекции Миллера. Сцена настолько возмутительна, что сразу ощущаешь подвох. И не зря.

Для принта какую проекцию не возьми — все плохи. Либо Чукотка с Аляской в подмышки залезают, либо выглядит так, словно рисовали проекцией Штаба-Вернера. Невольно размышляешь о методе проецирования сферы на одежду, а лучше в обобщенном случае: на произвольную ограниченную плоскость.

Можно покрыть сферу и плоскость сеткой с равным количеством узлов, а затем увеличивать количество узлов до бесконечности как в методе Монте-Карло. Но это выглядит уродливо, модники нас не поймут.

Гораздо разумнее представить футболку как деформированную сферу и спроецировать одну поверхность на другую так, чтобы в разрывах рукавов, ворота и основания футболка сохраняла исходные значения. Это легко можно сделать если выразить исходную сферу как множество вещественных чисел, а сферу футболки как множество комплексных чисел. Тогда ткань футболки будет соответствовать подмножеству комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Шутка в том, что в разрывах майки находится Шелдон — персонаж с невырожденной мнимой частью, окруженный вещественным миром. Опять-же, трудный для понимания, лишний в обыденных расчетах, но в серьезных задачах незаменимый. Снимаю шляпу перед режиссером и костюмером.

Но главный секрет в том, что проекция Меркатора со всеми ее производными (включая проекцию Миллера) представляет собой деформированную сферу Римана, точка бесконечности которой равноудалена от остальных точек. Для двумерной сферы это возможно сделать лишь поместив точку бесконечности в центр шара, ограниченного исходной сферой.

Логично предположить, что для проекции трехмерной сферы потребуется дополнительное измерение. Проще говоря: у жителей пятимерного пространства-времени на бумажных картах реки текут и машинки ездят. Если, конечно допустить, что они картируют автомобили. Роль наблюдателя тоже придется игнорировать, но все-равно, я обожаю такой юмор.

Причины

Причины

Сообщества популяризаторов науки с каждым годом все сильнее напоминают секты. У них свой мифический бог — наука, свои апостолы — авторитеты, своя паства почитателей. Все сильнее стремятся они окучивать детей, все успешнее зарабатывают на проповедях и сопутствующих товарах. Купить майку с надписью «критическое мышление» может лишь полный кретин.

Предупрежу обвинения в мракобесии, а равно и симпатии к «лжеученым» старым анекдотом: «Штирлиц, вы ненавидите евреев, вы что, антисемит? Полно вам Мюллер, я интернационалист. Я ненавижу всех». В самом деле, познавать критическое мышление стоит с критики самого критического мышления, да и мышления вцелом. Если добавить к этому критику критики и далее по нарастающей, получим знаменитый третий закон диалектики, который еще Гегель сформулировал.

Возьмем святая святых — утверждение о причинности всех процессов. Я согласен: все имеет причину. Но это утверждение хоть и верно, но не полно. Причин всегда больше одной, а если добавить сюда разные порядки причинности, то получим едва ли не бесконечность. В чем причина того, что вы читаете эти строки? С одной стороны — бесит уведомление о непрочитанных текстах. С другой, именно ваш предок огрел конкурента дубиной по голове и оставил потомство.

Что означает причина с точки зрения математики? В каких единицах ее измерять? Насколько значима любая произвольно выбранная причина по сравнению с суммой остальных причин результата? Какова роль субъективности в разделении причин на веские и малозначительные?

Понятие причины теряет всякий смысл, поскольку единственная полноценная причина любого процесса — это вся система, в которой процесс происходит. Тысячи исследователей каждый день ищут разные причины, а реальность точнее всего вчера сформулировал водитель маршрутки, который выкрикнул: «Твою мать! Россия!» после того, как поймал колесом очередную яму.

Четвертая координата

Четвертая координата

Если кто-то, описывая четырехмерное пространство, упоминает время, можете не сомневаться, вместо мозгов у него кисель. Это столь очевидно, что даже кошка Копейка понимает. Но давайте прикинемся дурачками и сделаем вид, словно не замечаем вопиющего бреда, а просто размышляем о реальности четырехмерного пространства-времени.

Начнем с трех координат. Одно из главных свойств пространства — взаимозаменяемость осей. Нет никакой разницы, что именно мы считаем шириной, что длиной, что высотой. Высота лежащего коробка спичек один сантиметр, поставленного вертикально — пять сантиметров. Значения каждой координаты зависят не от самого объекта, а от значений прочих координат. Объект всегда можно повернуть и поменять местами, к примеру, ширину с высотой.

Размерность поверхности тел на единицу меньше размерности самих тел. Круг плоский, окружность линейна. Шар объемный, сфера представляет плоскость. Не важно, чего именно нет у сферы: длины, ширины или высоты, главное, что координат всего две.

Если допустить, что четвертым измерением является время, неизбежно приходим к прискорбному дуализму. Либо мы должны согласиться с тем, что объект в четырехмерном пространстве можно повернуть таким образом, что для его поверхности не будет существовать время, либо вынуждены признать, что добавление четвертой координаты принципиально меняет свойства пространства.

Первый случай допустим лишь когда под временем понимается нечто совершенно отличное от нашего повседневного представления. С тем же успехом, можно назвать четвертую координату красотой или сковородкой. Второй случай свидетельствует об ошибочности всех обобщенных многомерных моделей. Поскольку ни первое, ни второе смысла не имеет, остается признать, что идея рассматривать интуитивно понимаемое время в качестве четвертой координаты неверна.

Тут бы взять и описать, что-же такое время и как четырехмерное пространство представить, но пока я чай заваривал Копейка на моем стуле спать улеглась. А стоя печатать мне неудобно.

Велик и могуч

Велик и могуч

В старинном споре о русскости тех или иных слов, единственный разумный подход озвучила писательница Татьяна Никитична Толстая. Если слово подчиняется правилам русского языка, то он русское. Компьютер, онлайн, менеджер, ресерч — безусловно русские слова. Шоу, жабо, метро — нерусские. Фраза «менеджериха ресерчила в онлайне» непривычна, но вполне укладывается в нормы языка, а вот «мы устроили шоу» — это иноязычная хрень.

Любопытно, что четкого деления на русские и нерусские слова нет, поскольку полно частично обрусевших слов. Например, «парсить». Попробуйте сделать из этого глагола существительное, а лучше в уменьшительно-ласкательной форме. При этом «парсить» и «распарсить» означают совершенно разные вещи.

Кто-то наверняка уже догадался, что этот текст не про лингвистику. Но если думаете, что намекаю на этнические проблемы, то ошибаетесь. Всего-навсего, хотел показать, как у одного и того-же объекта могут проявиться свойства дискретности и континуальности в зависимости от контекста. Несложная игра ума приводит к простым вопросам: дискретно ли время? Дискретно ли пространство?

А как быть с дискретным пространством, промежутки между элементами которого бесконечно малы? А еще когда бесконечно малы сами элементы? И вообще, останется ли понятие дискретности прежним, если в качестве метрики разрывов использовать не меру, а мощность множества?

Действительно, велик и могуч русский язык.

Двойное удовольствие

Двойное удовольствие

Человек, который желает поумничать, непременно вспоминает принцип бритвы Оккама, суть которого — не выдумывать разную хрень без веских на то причин. Нет сомнений — принцип важен и выручал не раз. Но сильнее всего он помог тем, что был изобретен лишь семь столетий назад. Знай о нем наши предки, все бы совершенно иначе получилось.

— Давайте у той зверюги, которая детей сожрала, щенят отберем и за несколько тысяч лет приручим — будут наши пещеры охранять.
— Ты еще предложи вон ту желтую фигню на палке принести, а потом на ней мамонта жарить.

Или ацтекский вариант: «Пока ты с игрушками развлекался, мы весь день булыжник тащили».

На всякую бритву непременно найдется свой Курт Гедель с теоремами о неполноте. Сравнивать философию с математикой сомнительно, а использовать результаты сравнения в быту еще сомнительнее, но опыт подсказывает: бывают ситуации, решить которые логическим способом нет никакой возможности. Приходится на основе интуиции предлагать разную хрень до тех пор, пока нужное решение не будет найдено. Заодно изменится и научная парадигма.

В любой момент времени найдется верное, но недоказуемое утверждение. А вместе с ним миллионы недоказуемых и неверных. Главное выбрать правильный подход и не считать утверждения самоценными.

— А мы говорим, что Земля плоская!
— Да я согласен хоть на форму банана, если вы скажете, что это дает и как объяснить тысячи других наблюдаемых вещей.

Молодец Курт Гедель. Теперь умничаешь так же, а удовольствия в два раза больше. Да и бриться веселее стало.

Аналитические способности

Аналитические способности

Поздняя осень — самое благоприятное время для оценки своих аналитических способностей. Налейте в термос горячего чаю, оденьтесь потеплее и шагайте вдоль реки или поля пока не увидите мурмурацию — стаю птиц в виде большого подвижного облака. Зрелище завораживает, но давайте в рамках анализа посмотрим на детали.

С тех пор как Рейнольдс в 1987 году предложил классическую модель мурмураций, мода на изучение согласованных движений постоянно растет. В девяносто пятом появилась модель Вичека, в две тысячи седьмом модель Кукера-Смейла — наиболее популярная сегодня. Кукер и Смейл описали мурмурацию как набор объектов, каждый из которых выбирает собственную скорость на основе средневзвешенной разницы в скоростях соседей, а вес каждой оценки зависит от удаленности соседей от объекта.

Дополнения к модели Кукера-Смейла публикуют каждый год. Тут вам и система с иерархиями, и топология переключения, и прочие математические экзерсисы. Не то, что-бы полет птиц всех уж так завораживал, тут скорее интересы практического рода: модель Кукера-Смейла оказалась крайне важной в теории машинного обучения.

Когда мурмурирующее облако захватывает преграду, часть птиц перестает видеть соседей, что можно представить как потерю пакета данных. Изучение этого вопроса Сетинкаем, Иши и Гаякавой в 2017 году пригодилось в области кибербезопасности и сетевом управлении динамическими системами. Да кто из нас не видел съемок группового запуска дронов и не слышал истории о миллионах беспилотных автомобилей на дорогах.

Если не рассматривать популярность, что остается общего между клеточным автоматом Крейга Рейнольдса, машинным обучением, теорией детерминированного хаоса, фрактальной геометрией Мандельброта и даже гладкими отображениями Уитни? Ничего из перечисленного не использует концепцию анализа. Новая парадигма исследований — синтез. Не разбить сложный объект на множество простых, а из простых объектов собрать сложный. И не просто сложный, а сложный эмергентно, то есть обладающий свойствами, которые нельзя получить сложением свойств составляющих объект частей.

Монополия аналитиков завершается. Это не значит, что они исчезнут, но и главными не будут. Если бы вместо данных мы говорили про кирпичи, пришлось бы признать: ситуация, при которой на каждого умеющего строить дом приходятся сотни тех, кто умеет дома разбирать, склонна к изменениям.

На практике это приведет к тому, что придя на работу в качестве специалиста по анализу данных вы услышите неожиданный ответ: «Анализировать у меня и секретарша может, ты мне данные синтезируй». А все почему? Правильно — за птицами надо было наблюдать.

Мысль о структурах

Мысль о структурах

Разглядывал старый снимок, невесть когда сделанный зимой из вертолета. На снимке пойма реки в Западной Сибири, уже и не помню какой (если кто подскажет — буду благодарен). Но дело даже не в снимке и не в реке.

Размышляя о различиях в структурных формах, образованных аллювиальными, делювиальными, пролювиальными, элювиальными и прочими процессами неизбежно вспоминаешь похожие визуальные образы. Это наталкивает на главный вопрос: возможно ли встретить среди устойчивых структур любую произвольную комбинацию элементов? Или даже больше: как связана динамика системы с ее структурой?

Нет, я не о гистограммах Шноля говорю. Это исследование удивительно и вызывает массу сомнений, особенно в части объяснения. Я скорее предполагаю, что в природной среде существуют структуры, устойчивость которых не зависит от их физической природы. Это может быть русло реки, ветвь дерева, сосулька, трещина — все что угодно, но при наличии определенной формы можно заранее предсказать дальнейшую динамику этой структуры. Нечто вроде планера из клеточного автомата Конвея.

Если подойти более практично, то вопрос можно рассмотреть в области дешифрирования спутниковых снимков. Очевидно, что рядом с произвольно выбранным пикселем можно встретить пиксель произвольной яркости. Но если мы возьмем больший охват, верно ли будет утверждение о том, что какую бы область на снимке мы не взяли, в ней всегда существует ненулевая вероятность встретить произвольную комбинацию пикселей? На первый взгляд ответ очевиден — конечно да, может быть какая угодно комбинация. Но если вдуматься, это утверждение равносильно мысли о том, что открыв свежий Сентинель вы прочитаете на нем свое имя и рассказ про то, как с велосипеда упали.

И потом, разве не указывает мысль о равной вероятности появления любой структуры на хаос в системе? С другой стороны, я давно шучу о том, что любое значение яркости пикселя следует воспринимать вероятностно, подобно атомной орбитали. Все потому, что разглядывая пиксель самого свежего снимка вы уже влияете на актуальное значение яркости. Незначительно влияете, но в нашем мире детерминированного хаоса размер вообще значения не имеет.

Тут мысль переключается на алеатику и размышления Б.В. Гнеденко о природе вероятности, но пожалуй все это необходимо жестко пресечь. Тем более, только что вспомнил: этот снимок я сделал в ванной после того как лодку мыл.

Живые системы. Часть 4

Добавим к системе пространств SX, SY третье пространство SZ, аналогично тому, как мы добавили простарнство SY к пространству SX. В такой системе пространств объекты возникают не только относительно каждого пространства, но и относительно друг друга. Иначе говоря, появляется наблюдатель — объект пространства SZ — взаимосвязь между пространствами SX и SY. Наблюдение — это состояние объекта при котором у него как части пространства изменяется относительная энергия (условия перехода из одного состояния в другое) и/или относительное количество возможных состояний.

Подобную систему назовем динамической. В ней происходят наблюдаемые изменения, поэтому введем понятие времени. Время — это размер области пересечения пространств с наблюдателем. Важно отметить, что если пространство может быть отрицательным (хотя пока мы не рассматривали этот вопрос, ответа на него нет), то время — это всегда положительная величина. Это «объем» области пересечения пространств.

Если аналогичным образом добавить четвертое пространство ST, получим систему пространств, которую будем именовать материальной или просто материей. Материя — это система объектов, включающая наблюдателя и наблюдаемый объект во времени. Несмотря на наличие четырех пространств, такая система и есть тот самый двумерный мир, в котором что-то происходит: две координаты определяют пространство, одна время и еще одна — наблюдателя.

Добавив еще одно пространство мы получим пространственно-временную систему, в которой пространство задано тремя координатами. Такая система наиболее близка нашему восприятию мира, но еще раз подчеркну: она формируется пересечением не четырех, а пяти пространств (одно время, три пространства и наблюдатель). Мы вольны добавлять любое количество пространств, но во всякой системе без вырождения одно пространство всегда будет скрытым. В бытовом смысле это можно представить в виде трехмерного мира, который мы можем наблюдать лишь в виде двумерной проекции.

Для иллюстрации концепции пятимерного пространства предлагаю отвлечься от абстракных примеров и рассмотреть более прикладную ситуацию. Задайтесь вопросом: каков ваш уровень владения языком зуриби? Очевидно, что этот вопрос не имеет смысла, поскольку рядом с вами сейчас нет собеседника, а значит нет общения как процесса, нет того, что можно измерить (одно пространство).

Внезапно появляется человек готовый к диалогу. Возникает сущность для измерения, но нет критериев оценки. Общаетесь вы на уровне эксперта или на уровне человека, которому в школе попался туристический разговорник? Те, кого абстракции пугают, возразят: «Я же могу сравнить скорость подбора слов, длину и разнообразие предложений». Но кто сказал, что на языке зуриби следует говорить быстро и разнообразно? Это пример системы с двумя пространствами: есть что измерять, но нет для этого инструмента.

Лишь с появлением второго собеседника вы можете оценить свой уровень владения языком (система с тремя пространствами). Но если зададитесь вопросом: насколько быстро вы овладеваете языком, вам потребуется четыре собеседника: две группы с двумя собеседниками, одна из которых служит метрикой. Это пример динамической системы пересечения пяти пространств, в которой одним из пространств являетесь вы как наблюдатель.

Возникают вопросы: откуда появляются новые пространства и что заставляет их объединяться? Понятно, что это лишь иная интерпретация старых: что было до Большого Взрыва и почему он произошел? Однако, прежде чем дать на них ответ, я считаю необходимым еще немного остановиться на концепции пятимерного пространства, дав его геометрическую иллюстрацию. С одной стороны, это послужит извинением за вульгарный пример с языком зуриби, а с другой, позволит лучше понять специфику пересечения пространств. В любом случае, без такого описания классификация элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий окажется невероятно запутанной.

Живые системы. Часть 3

Прежде мы упоминали объект не конкретизируя его сущность. Такое допущение искупается тем, что мы рассматривали одномерное пространство, в котором помимо самого этого пространства более ничего нет. В самом деле, если пространство — это линейная совокупность состояний и условий перехода из одного состояния в другое, то мы не в силах выделить сущность, которая одновременно была бы частью пространства и при этом изменяла бы свойства пространства, в том смысле, что пространство с объектом должно принципиально отличаться от пространства без объекта.

Обозначим пространство о котором мы говорили ранее как SX и представим, что одновременно с ним существует еще одно пространство SY с аналогичными свойствами. Пока мы знаем про SX и SY лишь то, что каждое из них представляет собой множество состояний и условий перехода между состояниями.

Как SX и SY взаимосвязаны между собой? Существует три варианта такой взаимосвязи: полностью идентичны, частично взаимосвязаны и абсолютно невзаимосвязаны. Первый вариант возвращает нас к ситуации с одним пространством. Последний вариант не помогает в характеристике объекта: если пространства абсолютно независимы, то их следует рассматривать по отдельности, что опять-же возвращает нас к ситуации с одним пространством. Остается второй вариант — пространства частично взаимосвязаны.

Частичная взаимосвязь пространств может быть двусторонней, в том смысле, что оба пространства взаимно влияют друг на друга и односторонней, когда одно пространство влияет на другое, оставаясь неизменным. В обоих случаях мы можем ввести понятие объекта — участка пространства, на котором изменяется совокупность состояний и/или условий перехода из одного состояния в другое под воздействием иного пространства. Другими словами: объект — это участок SX на котором взаимосвязь SX с SY вызывает изменение количества возможных состояний SX и/или условий перехода между состояниями SX.

Участок пространства SX на котором взаимосвязь SX с SY не оказывает влияния на SX назовем осью симметрии пространства SX относительно пространства SY. Остальной участок пространства назовем областью пересечения SX и SY, подразумевая под этим, что все объекты обязательно находятся в области пересечения и никогда не могут возникать на оси симметрии.

Подобным образом мы можем бесконечно увеличивать количество пространств, при этом у них может быть бесконечное количество осей симметрии. В самом простом случае для возникновения объекта необходима одна ось симметрии, наличие области пересечения и минимум два пространства. С некоторой степенью вульгарности это можно представить в виде квадратного резинового листа у которого при растяжении одного края растягивается другой, но точка пересечения сторон (вершина угла листа) остается точкой и не может быть деформирована.

Главная особенность подобного «двумерного» мира — статичность. Каков бы ни был ваш лист по размеру, он всегда будет изгибаться на всем своем протяжении. Невозможно оценить как изгибается одна сторона при сгибе другой.

Занятно в этой связи то, что бесконечные иллюстрации четырехмерного пространства на примере двумерного существа на листе в который вонзают карандаш из третьего измерения абсолютно несостоятельны. В двумерном мире не только не может быть существ, но и вообще не может быть никаких изменений.

Представьте Вселенную в которой существует только две точки. Очевидно, что эти точки не будут двигаться относительно друг друга, более того, относительно друг друга они даже не будут существовать. Для того, что-бы объекты появились относительно друг друга, необходима некоторая метрика, эталон, объект для сравнения. Это как измерять длину двух отрезков линейкой которая пропорционально растягивается при переходе от одного отрезка к другому.

Представьте, что вы видите очень удаленный объект. Движется он или стоит на месте? Ответить на этот вопрос можно лишь сравнив его с некоторым третьим предметом.

Живые системы. Часть 2

Предлагаю на время забыть о физике, биологии и окружающем мире вообще. Вместо этого рассмотрим некоторую абстрактную S, которая может принимать значения s1, s2, …, sn при соблюдении некоторых условий E. Другими словами: S меняет значение с s1 на s2 при условии e1, а с s2 на s3 при условии e2 и так далее.

Назовем полную совокупность состояний S — пространством состояний S. На бытовом языке: пространство состояний — это область, в любой точке которой может оказаться некоторый объект, хотя бы теоретически.

По аналогии с пространством, назовем совокупность условий перехода между состояниями S — пространством энергий S. Еще раз подчеркну — не ищите этому физический смысл. Мы лишь строим некоторую мысленную конструкцию. Пространство энергий — это область, для попадания в каждую точку которой существуют достаточные условия.

Представьте себя в центре пустыни. Если вы S, то ваше пространство состояний — вся пустыня и даже весь мир, но ваше пространство энергий заключено в радиусе пары десятков километров вокруг вас. Это область до границы которой вам хватит сил. Пример вульгарный, но наглядный. Ниже я буду употреблять слово «пространство» без прилагательных, подразумевая под этим совокупность пространства состояний и пространства энергий.

Здесь возникает несколько важных теоретических вопросов. Вопрос первый: мы сейчас говорим о пустом пространстве, но возможно ли оно без объекта? Я полагаю, что в вырожденном теоретическом случае да. По большей же части пространство невозможно без объекта, более того, объект — это необходимое, но недостаточное условие существования пространства. Подробнее мы рассмотрим это утверждение позже.

Второй вопрос: обладает ли пространство структурой? У пространства состояний выделить структуру возможно, но сейчас я не вижу для этого оснований. Напротив, пространство энергий обладает симметрией, поскольку каждому условию прехода S из одного состояния в другое, можно поставить в соответствие несоблюдение этого условия. Однако, отмечу, что всякая структура может формироваться лишь при наличии в пространстве объекта, о сути которого я скажу позже.

Приведу прежнюю аналогию. Если пустыня вокруг вас бесконечна, то ваше перемещение по ней не имеет значения: вы всегда остаетесь в центре бесконечности. Но чем дольше вы идете (чем больше выполняется условий вашего перемещения), тем сильнее отличие текущих условий от изначальных. Но при этом вы всегда присутствуете в пустыне, становясь ее центром. Лишь объект структурирует пространство.

Вне зависимости от наличия структуры у пространства изменений, общее пространство, за счет структуры пространства энергий всегда будет структурировано. Биективность общего пространства — вопрос незатронутый, но, надеюсь, нам еще выпадет шанс к нему обратиться. Сейчас стоит обратить внимание на факт того, что каждое новое состояние S требует выполнения все большего количества условий. Если для достижения состояния s2 необходимо условие e1, то для достижения состояния s3 необходимы условия s1 и s2.

Вопрос о том, исчерпывается ли взаимоотношение пространства состояний с пространством энергий вышесказанным до конца не ясен. Наконец, последний вопрос: насколько равномерно пространство в том смысле, что s1 эквивалентно sn, а e1 эквивалентно en? Пока я исхожу из идеи эквивалентности, но не настаиваю, полагаясь на дальнейшие изыскания в этом вопросе.

Итак, мы дали определение пространству состояний (все возможные состояния) и пространству энергий (все условия прехода из одного состояния в другое). За счет пространства энергий совокупное пространство всегда обладает структурой, но при условии наличия в этом пространстве некоторого объекта, которому присущи изначальное положение и набор условий. Достижение каждого последующего состояния требует все большего количества условий. Это дает нам ключ к пониманию природы времени, материи и наблюдателя.