Мультифрактальный анализ данных OpenStreetMap в QGis

Бенуа Мандельброт в своей «Геометрии» утверждает, что понятие «фрактал» применимо исключительно к множествам, которые проявляют свойства самоподобия не менее чем на протяжении трех порядков единиц измерения. Манфред Шредер в не менее известной монографии описывает принцип расчета корреляционной размерности, приводя ее к общему виду. Там же он наглядно показывает, как неэвклидовы размерности отражают строение систем в стадии детерминированного хаоса. Аналогичным, но в более популярной форме занимается Хакен, а Федер постулирует чрезвычайно занятную мысль о взаимосвязи самоподобия с теорией перколяции. Однако, несмотря на все это, фракталом называют любой каскад дихотомических ветвлений, а под фрактальным анализом — банальное определение размерности покрытия, забывая даже то, что в оригинальном мануале она идет под названием размерности Хаусдорфа-Безиковича. Еще в одной статье на эту тему нет смысла, но процедура оценки сложности геоданных в QGis настолько проста, что заслуживает краткого упоминания даже среди всеобщей скуки.

Начнем с того, что выберем интересующую область (в моем случае это Москва, район трех вокзалов), которую обводим полигоном. Любой тулзой скачаем OSM данные на этот регион — я использовал плагин OSMDownload, но можно и просто выкачать все через overpass. После того, как данные получены, я рекомендую перевести все в спроецированную систему координат, например в EPSG:2705. Это облегчит дальнейшую работу и позволит вам избежать необходимости перевода градусов в метры для объяснения полученного результата. Я для упрощения работы использовал только точечные данные, но нет препятствий к применению этого метода для линий или даже полигонов.

После этого стандартными средствами (Вектор-выборка-регулярная сетка) строим сетки из квадратов с разной длиной стороны. Чем больше сеток и сильнее разброс площадей у их ячеек тем интереснее результат, но на практике обычно получается не более 20, а если удваивать сторону квадрата для каждой новой сетки, то и того меньше. Можно объединить все сетки в один шейп, это ускорит работу по подсчету заполненных ячеек, но замедлит расчет размерности, так что особого смысла нет. Сам подсчет ведется путем пространственной выборки полигонов сетки по принципу пересечения с точкой OSM:

Я использовал 22 сетки со сторонами квадратов 5, 10, 13, 20, 21, 34, 40, 55, 80, 89, 100, 144, 160, 200, 233, 300, 320, 377, 400, 500, 610 и 640 метров. Не стоит удивляться размерам — эту работу я проводил в рамках изучения встречаемости последовательности Фиббоначчи в геоданных и связи этой последовательности с размерностью покрытия данных. В результате были получены следующие данные:

График функции количества заполненных клеток от масштаба клетки как и ожидалось, имеет степенной вид (R²_{функции аппроксимации} = 0,94). Расчеты выполнены в экселе с использованием формул для расчета достоверности авппроксимации:

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(LN($D$2:$D23);LN($B$2:$B23);;1);3;1)

Для расчета размерности Хаусдорфа-Безиковича:

=-1*ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(LN($D$2:$D23);LN($B$2:$B23));1)

На основе полученной таблицы построен график мультифрактального спектра, отражающий изменение сложности данных в зависимости от масштаба (сложность точки = 0, сложность прямой = 1, сложность плоскости = 2):

Сложность точечных данных OpenStreetMap возрастает по логарифмическому закону. При увеличении охвата, она стремительно возрастает до тех пор, пока сторона охвата не составит примерно 100 м (вероятно это связано с квартальной сетью), после чего скорость усложнения падает. Если продолжить это график, он должен опять пойти на спад, что следует хотя-бы из здравого смысла, но ресурсов моего компьютера для таких расчетов уже не хватит. Динамика наблюдается в северной части Москвы, но полагаю, что тенденция будет сходной для всех крупных городов.

Собственно, это и есть все интересное. Тем более, что этот пост я написал только для того, что-бы формулы расчета размерности всегда под рукой были, а то неудобно постоянно десятки графиков создавать.