Бенуа Мандельброт в своей «Геометрии» утверждает, что понятие «фрактал» применимо исключительно к множествам, которые проявляют свойства самоподобия не менее чем на протяжении трех порядков единиц измерения. Манфред Шредер в не менее известной монографии описывает принцип расчета корреляционной размерности, приводя ее к общему виду. Там же он наглядно показывает, как неэвклидовы размерности отражают строение систем в стадии детерминированного хаоса. Аналогичным, но в более популярной форме занимается Хакен, а Федер постулирует чрезвычайно занятную мысль о взаимосвязи самоподобия с теорией перколяции. Однако, несмотря на все это, фракталом называют любой каскад дихотомических ветвлений, а под фрактальным анализом — банальное определение размерности покрытия, забывая даже то, что в оригинальном мануале она идет под названием размерности Хаусдорфа-Безиковича. Еще в одной статье на эту тему нет смысла, но процедура оценки сложности геоданных в QGis настолько проста, что заслуживает краткого упоминания даже среди всеобщей скуки.
Начнем с того, что выберем интересующую область (в моем случае это Москва, район трех вокзалов), которую обводим полигоном. Любой тулзой скачаем OSM данные на этот регион — я использовал плагин OSMDownload, но можно и просто выкачать все через overpass. После того, как данные получены, я рекомендую перевести все в спроецированную систему координат, например в EPSG:2705. Это облегчит дальнейшую работу и позволит вам избежать необходимости перевода градусов в метры для объяснения полученного результата. Я для упрощения работы использовал только точечные данные, но нет препятствий к применению этого метода для линий или даже полигонов.
После этого стандартными средствами (Вектор-выборка-регулярная сетка) строим сетки из квадратов с разной длиной стороны. Чем больше сеток и сильнее разброс площадей у их ячеек тем интереснее результат, но на практике обычно получается не более 20, а если удваивать сторону квадрата для каждой новой сетки, то и того меньше. Можно объединить все сетки в один шейп, это ускорит работу по подсчету заполненных ячеек, но замедлит расчет размерности, так что особого смысла нет. Сам подсчет ведется путем пространственной выборки полигонов сетки по принципу пересечения с точкой OSM:
Я использовал 22 сетки со сторонами квадратов 5, 10, 13, 20, 21, 34, 40, 55, 80, 89, 100, 144, 160, 200, 233, 300, 320, 377, 400, 500, 610 и 640 метров. Не стоит удивляться размерам — эту работу я проводил в рамках изучения встречаемости последовательности Фиббоначчи в геоданных и связи этой последовательности с размерностью покрытия данных. В результате были получены следующие данные:
| Сторона квадрата, м |
Полное количество квадратов | Количество заполненых квадратов |
Достоверность аппроксимации (R2) |
Размерность Хаусдорфа-Безиковича |
| 5 | 241001 | 4322 | 1,00 | 0,00 |
| 10 | 60501 | 3963 | 1,00 | 0,13 |
| 13 | 35574 | 3755 | 0,99 | 0,14 |
| 20 | 15251 | 3115 | 0,89 | 0,22 |
| 21 | 13728 | 3041 | 0,91 | 0,25 |
| 34 | 5251 | 2151 | 0,86 | 0,35 |
| 40 | 3876 | 1830 | 0,87 | 0,41 |
| 55 | 2035 | 1290 | 0,87 | 0,50 |
| 80 | 988 | 760 | 0,86 | 0,62 |
| 89 | 782 | 650 | 0,88 | 0,69 |
| 100 | 651 | 535 | 0,89 | 0,74 |
| 144 | 294 | 280 | 0,89 | 0,83 |
| 160 | 247 | 237 | 0,90 | 0,89 |
| 200 | 176 | 148 | 0,90 | 0,96 |
| 233 | 117 | 115 | 0,91 | 1,02 |
| 300 | 77 | 69 | 0,91 | 1,08 |
| 320 | 70 | 68 | 0,92 | 1,12 |
| 377 | 48 | 47 | 0,92 | 1,16 |
| 400 | 48 | 40 | 0,93 | 1,19 |
| 500 | 35 | 24 | 0,93 | 1,24 |
| 610 | 20 | 20 | 0,93 | 1,27 |
| 640 | 20 | 19 | 0,94 | 1,29 |
График функции количества заполненных клеток от масштаба клетки как и ожидалось, имеет степенной вид (R2функции аппроксимации = 0,94). Расчеты выполнены в экселе с использованием формул для расчета достоверности авппроксимации:
=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(LN($D$2:$D23);LN($B$2:$B23);;1);3;1)
Для расчета размерности Хаусдорфа-Безиковича:
=-1*ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(LN($D$2:$D23);LN($B$2:$B23));1)
На основе полученной таблицы построен график мультифрактального спектра, отражающий изменение сложности данных в зависимости от масштаба (сложность точки = 0, сложность прямой = 1, сложность плоскости = 2):
Сложность точечных данных OpenStreetMap возрастает по логарифмическому закону. При увеличении охвата, она стремительно возрастает до тех пор, пока сторона охвата не составит примерно 100 м (вероятно это связано с квартальной сетью), после чего скорость усложнения падает. Если продолжить это график, он должен опять пойти на спад, что следует хотя-бы из здравого смысла, но ресурсов моего компьютера для таких расчетов уже не хватит. Динамика наблюдается в северной части Москвы, но полагаю, что тенденция будет сходной для всех крупных городов.
Собственно, это и есть все интересное. Тем более, что этот пост я написал только для того, что-бы формулы расчета размерности всегда под рукой были, а то неудобно постоянно десятки графиков создавать.