Перемена мест

Перемена мест

За окном дождь, капли играют на профлисте и зябко выходить. Лучшее время подумать о коммутативном законе. О том самом, что со школьных времен учит человека безысходности. Зачем, спрашиваю, было пересаживать с одной парты за другую, если результат все-равно перед глазами. Вот он, на пожелтевшем плакате нарисован.

Судьбу человека можно рассмотреть как абелеву группу, но если не откапывать корни рефлексии, то заметно: коммутативный, он же переместительный закон очень непрост. Для примера возьмем простую картографическую загадку — каким окажется изображение после взаимной замены координат на каналы растра?

Возьмем ETOPO2, WTB и полигональную сетку. Для каждого полигона рассчитаем координаты центроида, добавим в таблицу зональную статистику по трем каналам и медианную высоту полигона. Нормализуем все к общему диапазону, а после значения каналов используем вместо координат, а значениями координат определим яркости пикселов. По всем здравым рассуждениям на выходе должна получиться шумная ерунда, словно помехи в телевизоре. Но на самом деле вы увидите знакомые очертания континентов.

Понятно, что мы лишь поменяли значения местами, а значит результат должен остаться прежним. Но вот прежним ли? В этом прилагательном вся загвоздка, поскольку оно подразумевает сравнение, а значит и неизбежные проблемы.

Оставим пока в стороне топологические казусы и представим иностранца, который знает лишь два русских слова: «прежде» и «временно». С его точки зрения, коммутативный закон верен. Меняй слова местами — смысл все-равно неизменен. Но мы ведь разницу знаем. Можно еще пробелы убрать, но тогда уже разговор про ассоциативный закон пойдет.

Теперь рассмотрим обобщенный случай, где иностранцем выступаем мы, а русским языком математические объекты. Даже не функторы или стрелки, а хотя бы простые числа. Слишком уж подозрительно, что сумма тройки и пятерки равна сумме пятерки и тройки.

Понятно, что в конечном итоге все сведется к вопросу парадигмы, достаточности и здравого смысла. А если бы я сейчас не любовался в одиночестве фазаном, который на фоне дождливых сумерек выклевывает с огорода семена, то еще и спорами про неполноту и аксиому выбора. Разве найдешь сейчас подходящее время и место для размышления о мутабельности элементарных объектов?

Кошка спит, свернувшись калачиком. Темнеет. Словно действительно ничего не происходит от перемены мест. Вопрос лишь в том, есть ли эта перемена.