Четвертая координата

Четвертая координата

Если кто-то, описывая четырехмерное пространство, упоминает время, можете не сомневаться, вместо мозгов у него кисель. Это столь очевидно, что даже кошка Копейка понимает. Но давайте прикинемся дурачками и сделаем вид, словно не замечаем вопиющего бреда, а просто размышляем о реальности четырехмерного пространства-времени.

Начнем с трех координат. Одно из главных свойств пространства — взаимозаменяемость осей. Нет никакой разницы, что именно мы считаем шириной, что длиной, что высотой. Высота лежащего коробка спичек один сантиметр, поставленного вертикально — пять сантиметров. Значения каждой координаты зависят не от самого объекта, а от значений прочих координат. Объект всегда можно повернуть и поменять местами, к примеру, ширину с высотой.

Размерность поверхности тел на единицу меньше размерности самих тел. Круг плоский, окружность линейна. Шар объемный, сфера представляет плоскость. Не важно, чего именно нет у сферы: длины, ширины или высоты, главное, что координат всего две.

Если допустить, что четвертым измерением является время, неизбежно приходим к прискорбному дуализму. Либо мы должны согласиться с тем, что объект в четырехмерном пространстве можно повернуть таким образом, что для его поверхности не будет существовать время, либо вынуждены признать, что добавление четвертой координаты принципиально меняет свойства пространства.

Первый случай допустим лишь когда под временем понимается нечто совершенно отличное от нашего повседневного представления. С тем же успехом, можно назвать четвертую координату красотой или сковородкой. Второй случай свидетельствует об ошибочности всех обобщенных многомерных моделей. Поскольку ни первое, ни второе смысла не имеет, остается признать, что идея рассматривать интуитивно понимаемое время в качестве четвертой координаты неверна.

Тут бы взять и описать, что-же такое время и как четырехмерное пространство представить, но пока я чай заваривал Копейка на моем стуле спать улеглась. А стоя печатать мне неудобно.

Велик и могуч

Велик и могуч

В старинном споре о русскости тех или иных слов, единственный разумный подход озвучила писательница Татьяна Никитична Толстая. Если слово подчиняется правилам русского языка, то он русское. Компьютер, онлайн, менеджер, ресерч — безусловно русские слова. Шоу, жабо, метро — нерусские. Фраза «менеджериха ресерчила в онлайне» непривычна, но вполне укладывается в нормы языка, а вот «мы устроили шоу» — это иноязычная хрень.

Любопытно, что четкого деления на русские и нерусские слова нет, поскольку полно частично обрусевших слов. Например, «парсить». Попробуйте сделать из этого глагола существительное, а лучше в уменьшительно-ласкательной форме. При этом «парсить» и «распарсить» означают совершенно разные вещи.

Кто-то наверняка уже догадался, что этот текст не про лингвистику. Но если думаете, что намекаю на этнические проблемы, то ошибаетесь. Всего-навсего, хотел показать, как у одного и того-же объекта могут проявиться свойства дискретности и континуальности в зависимости от контекста. Несложная игра ума приводит к простым вопросам: дискретно ли время? Дискретно ли пространство?

А как быть с дискретным пространством, промежутки между элементами которого бесконечно малы? А еще когда бесконечно малы сами элементы? И вообще, останется ли понятие дискретности прежним, если в качестве метрики разрывов использовать не меру, а мощность множества?

Действительно, велик и могуч русский язык.

Парабола и гипербола

Необычайно много людей путают между собой параболу и гиперболу. Это неудивительно, ведь в школе объясняют, что парабола — это x^2, а гипербола — это k/x. Забросишь математику на неделю и уже где парабола, где гипербола хрен разберешь.

А запомнить просто. В обоих словах есть «бола», которая напоминает «ball» — мяч. «Пара» переводится как «около». Вспомните паранормальные явления — явления которые находятся рядом с нормальными, хоть и не составляют с ними одно целое. Летающий по кухне миксер — это паранормальное явление, а НЛО — нет. Парабола — это траектория около мяча. Почти орбита.

«Гипер» означает «над» или «сверх». Гипермаркет — это сверхмагазин. Гипербола — это траектория над мячом, сверх его. Немного приблизились и полетели дальше.

В этом посте все неправильно: паранормальщина — это бред, перевод неправильный, формулы примитивны, картинка неполна. Зато теперь вы никогда не спутаете параболу и гиперболу.

Теория категорий

Главный минус математической литературы в том, что она напоминает карьер: три метра воды по щиколотку, а дальше обрыв и бездна. Выглядит это примерно так:

— Сегоня мы поговорим о теории категорий. Представьте, что у вас есть только объекты, неважно какие. У объектов есть стрелочки, которые соединяют эти объекты. Не ищите смысл стрелочек, это все абстракция. Стрелки можно сочетать друг с другом в единую композицию. Еще у каждого объекта есть единичная стрелка, которая указывает на объект из которого выходит. Кроме того, для стрелок действует ассоциативный закон, то есть (g°f)°h = g°(f°h). Если все условия выполняются, то перед вами категория. Способ отображения одной категории в другую называют функтором. Понятно?
— Да
— Хорошо, тогда давайте с помощью коммутативной диаграммы проверим наличие изоморфизма в системе категорий, которая содержит свободный моноид.

Из-за этой математической особенности никогда не знаешь, что перед тобой за работа: дверь в невероятный новый мир или макулатура для туалета. Пока не потратишь кучу времени и сил — не поймешь. Кстати, если перед вами откроется возможность изучить теорию категорий — не пренебрегайте. Это не просто, по крайней мере, я еще не встречал автора, который мог бы столь виртуозно описать теорию категорий как Мандельброт свои фракталы, Фейгенбаум свои удвоения бифуркаций, Заде свою жену или Хакен свою имитацию науки.

Зачем это нужно? — спросите вы. Ну хотя-бы для того, что-бы в полной мере понимать простое типизированное лямбда исчисление или теорию множеств. На худой конец, для того, что-бы объяснить своим детям понятие умножения. В конце-концов, существует некоторый общекультурный уровень и он, к сожалению, не так уж высок. Никто не требует от обывателя знания правил перемножения топологических пространств, но если перед вами человек с высшим образованием, который никогда не слышал даже словосочетания «теория категорий» — плюньте в рожу этой собаке дикой.

Кстати, вы только что прочли базовые понятия этой теории.

Егор Яковлевич

События последних дней служат очередным доказательством: большинство людей — клинические идиоты. Стоит ли удивляться тому, что на роли выдающихся деятелей толпа выдвигает равных себе, в то время как настоящие революционеры почти неизвестны?

Звучит пафосно, но то, что сделал Георг Кантор — это и есть революция. Открытие более страшное, чем сама смерть. Смерть — что? Помер и дальше бесконечное небытие исходя из ваших религиозных предрассудков. Главное — бесконечность. Грешники будут сидеть в котлах ровно такое количество времени, которое святые проведут в раю, это следует хотя-бы из того, что последний день в аду представляет собой трансфинитный ординал множества всех дней после смерти.

Это даже успокаивает, если не знать о том, что в конце девятнадцатого века Кантор описал бесконечные последовательности с разной мощностью. Натуральных чисел больше чем четных. Длина луча меньше длины прямой. Если вас будут выпускать из ада по выходным, вы все-равно проведете там вечность, но она отнимет у вас на две седьмых меньше времени.

Кто-то спросит в это месте: «И что с того? Мало ли кто чего открыл?». Это верно, парадокс Галилея был известен давно, и вообще вопросы бесконечности поднимали все кому не лень: от древних греков, до Вейерштрасса и Дедекинда. Но именно Кантор в полной мере показал, что существует не чудовище в лице бесконечности, а бесконечное количество чудовищ, которые можно приручить. И словно в насмешку над собой опубликовал за пару лет до Рассела (того, который все хотел запустить на орбиту чайник) парадокс, который опровергнул созданную им теорию.

В итоге все закончилось тем, чем и должна завершаться любая революция. Наступил грандиозный кризис в математике. О том, что-бы пересмотреть всю математику заново, страшно было подумать. Тем более, еще свежа была память о Фридрихе Фреге, который закончив логическое обоснование математики сдал рукопись в набор и только после этого получил письмо в котором несколькими строчками опровергались все его результаты. Для преодоления возникших проблем Эрнст Цермело и позднее Абрахам Френкель взялись за создание новой аксиоматики, которая позволяла бы исключить парадоксы в канторовой теории множеств. Аксиоматику Цермело-Френкеля мы используем и сегодня, то включая, то исключая из нее аксиому выбора.

Только несколько десятилетий спустя великий Николя Бурбаки решил навести в математике окончательный порядок, переложив ее на обновленную теорию множеств Кантора. Для этого потребовалось два десятка томов. Каждый из них идеально подходит для чтения на необитаемом острове, поскольку даже для того, что-бы объяснить понятие единицы, автору потребовалось двести страниц выкладок. И те приведены с оговоренными сокращениями. В итоге работа так и не была завершена, но это не так уж важно. Главное — кризис был преодолен, а после выхода «Фрактальной геоиетрии природы» Мандельброта напоминание об этом расползлось по тысячам психоделических картинок и наукообразных статей.

Сегодня, когда я встречаю формулы расчета коммунальных тарифов, банковские контракты либо иную бытовую математику, невольно думаю, знают ли авторы всех этих чудесных документов о том, что мы живем в мире доказанной теоремы Банаха-Тарского, согласно которой из разделенного на части трехмерного множества можно сформировать два подмножества идентичных исходному. Или о том, что перед нами вселенная алгебры с ее кольцами, полями, идеалами и бесконечностью элементов, которым и названия пока нет, а мы укрылись на маленькой планете и обсуждаем очередное пустое множество.

От таких мыслей лицо мое неизменно приобретает глупый вид, отчего окружающие начинают торопить и я нет-нет, да и сделаю где-то глупую ошибку. А всему виной старик Георг, записанный в домовой книге дома по одиннадцатой линии Васильевского острова в Петербурге как Егор Яковлевич Кантор. Из-за него приходится выбрасывать исписанный бланк и начинать новый. Но я не в обиде.

Вопрос о простых числах

Поскольку идти в такую погоду на рыбалку нет никакого смысла, я решил посвятить выходные изысканиям в области простых чисел и обнаружил в подмножестве из первых 1229 элементов пару занятных вещиц.

Во-первых, если отсортировать все числа по возрастанию суммы последней цифры и итеративной суммы цифр простого числа, то разница между последующим и предыдущим простым числом будет в большинстве случаев кратна девяноста. Исключения составляют лишь наименьшие числа в группах (например 73 — наименьшее число в группе чисел, для которых сумма итеративной суммы цифр (= 1) и последней цифры (3) равна четырем). Таких исключений всего несколько десятков. Кроме них несколько раз встречаются числа 38 и 81.

Во-вторых, результатом деления простого числа на девять является периодичная дробь, в которой величина периода равна итеративной сумме цифр в числе (например, 83/90 = 9.2222(2); 8+3=11 -> 1+1 = 2) Проверил утверждение на рекорде Эйлера, который выходит за границы моего множества (простое число 2147483647) — все сходится.

Об этом можно догадаться и без всяких изысканий, поскольку простые числа это подмножество натуральных, а натуральные мы используем в десятичной нотации. Кроме того, итеративная сумма цифр представляет собой кардинал числа, представленного в виде множества, а само число есть кардинал числа в виде множества в котором все подмножества развернуты. Поскольку отношение любой цифры к девяти дает периодичную дробь, период которой соответствует позиции цифры в ряду, отношение числа к девяти дает нам дробь с периодом в виде итеративной суммы всех цифр числа.

Роль простых чисел в этом все-равно понятна не до конца, но любопытно другое: понятие числа можно представить в виде циркулярной модели в которой каждое натуральное число в десятке представляет собой часть четверти окружности, разбитую на четыре части. Возникает вопрос: действительно ли каждое натуральное число можно представить в виде суммы четырех простых чисел и единицы?

Это не проблема Гольбаха, но тоже неплохое развлечение для выходных. Главное не забыть про то, что все должно происходить в равномерном пространстве без разрывов.

Обильные фильтруации

Я вертел на имморалистическом хую все советы о том, как следует писать эти очерки. Но вы так часто просите меня фильтровать посты перед публикацией, что на этот раз я не сдержался и пошел у вас на поводу.

Буду фильтровать. Начну с фрагмента снимка SRTM:

Ну а хули елозить-то? Фильтровать — так фильтровать. К великой моей печали, вы в просьбах своих нихуя не говорите о предпочтительных способах фильтрации. Что-ж, поэкспериментируем, дабы никто не ушел обиженным.

Начнем с DTM-фильтра, в основе которого лежит статья Георга Фоссельмана. Технология фильтрации основана на предположении о том, что резкий перепад значений высоты на незначительном пространстве DEM-растра свидетельствует не об особенностях рельефа, а о наличии объектов местности, искажающих ЦМР. Проще говоря, если на левом пикселе высота десять метров, а на правом тридцать, то скорее всего на местности в данных точках вы вместо обрыва/карьера увидите стену леса, здание или другую нерельефную ебанину. Фильтр просматривает растр скользящим окном заданного радиуса и отделяет области с уклоном выше указанного. При соответствующих настройках, этот фильтр позволяет не только отделить неестественные превышения, но и разделить растр на слои равнин и уклонов.

На демке с территорией города Шахты, алгоритм фильтрации сбоит на терриконах и отвалах. Впрочем, на таких масштабах уместнее использовать вместо SRTM растры ASTER GDEM. На моем фрагменте все работает прекрасно. Вот вам равнины:

А вот уклоны свыше тридцати градусов:

Главное, помните фильтр только отделяет одни пиксели от других. Дать физическое объяснение результата — уже ваша задача. Вот какого хрена на острове Поперечном такие уклоны? Он же ровный как блин. У меня даже фоточка есть:

Чаще всего подобные искажения возникают за счет растительности. Отделить ее от рельефа практически невозможно. Но если на плакорах с этим можно почти смириться (нужно только забыть про разницу в возрастах, бонитетах, наличие дорог, лугов, болот и полей, ветровалы, бобров, пожары, рубки и усыхания), то получить детальную ЦМР для склонов долин обычно затруднительно. Да чего объяснять-то? Каждый из вас наверняка видел такую взаимосвязь растительности и рельефа:

Но хватит, уже про DTM. Вы можете подумать, что у меня нет чувства такта. Фильтр комочков (Filter clumps — да простят меня профессиональные переводчики) отсеивает связанные пикселы с единым значением, превышающие заданную площадь. Например, вот области в которых соприкасается не менее тридцати пикселов с единым значением высоты:

Мажоритарный фильтр (majority filter) делит растр на сегменты указанного размера. В каждом из них вычисляется значение большинства пикселов, которое впоследствии экстраполируется на всю область. В результате имеем следующее:

Исходный SRTM в приближении:

Результат работы мажоритарного фильтра в том же экстенте:

  • Для понимания, на рисунке ниже черные изолинии с SRTM наложены на красные изолинии с отфильтрованного растра. Результат налицо:

Морфологический фильтр, точнее фильтры. Спешу огорчить всех натуралистов. Умойтесь, к геоморфологии эти фильтры не имеют никакого отношения, даже несмотря на их специфические наименования. Базовых морфологических фильтров два: дилатация и эрозия. Кроме того, активно используются фильтры замыкания и размыкания. В первом применяется сначала дилатация, затем эрозия, во втором — наоборот. Нихрена не понятно? Не проблема. Вот вам иллюстрированная классификация. Основана на лучших моих художественных скиллах вкупе с простейшим графическим редактором:

При дилатации  происходит расширение пикселей, в результате которого изображение становится более светлым и размытым:

Красные линии — горизонтали с растра дилатации, черные — горизонтали SRTM:

При эрозии происходит обратный процесс. Однородные области увеличиваются в размере за счет подавления шума между ними.

Красные изолинии с растра эрозии на фоне черных горизонталей SRTM

Это размыкание

с горизонталями

А это замыкание

с горизонталями

Все, хватит про морфологические фильтры. Это банально и скучно. Самое время испить из фрактальной реки и вспомнить про богов алеатики. Дамы и господа! Леди и джентельмены! Мудачье! Специально для вас, Карл Гаусс со своим фильтром!

— ээээээ, а где растр то?

А не будет растра. Ибо визуально после применения фильтра различия почти не отличить. Суть фильтра в отсеивании областей с заданным стандартным отклонением. Что-бы вы не расстраивались вот вам картинка с изолиниями (standart deviation = 1):

Фильтр Ли. Это к китайцам не имеет никакого отношения, просто я в душе не ебу, как перевести «Multi direction lee filter» на адекватный русский язык. Более того, я с трудом понимаю что это вообще такое, а для чего это — не понимаю вообще. Но раз уж зашла речь про фильтрацию, грех не рассказать про эту хрень.

Фильтр разделяет растр на три дочерних: результат фильтрации, растр минимума стандартного отклонения и растр направления минимума стандартного отклонения.

Результат фильтрации визуально от оригинала не отличим:

Минимальное стандартное отклонение. Тут все почти просто, если найти мануал, объясняющий значение прилагательного «минимальное».  Результирующий растр в псевдоцветах выглядит так (чем краснее, тем выше стандартное отклонение):

Слой изолиний в той же палитре:

Но самое интересное — направление минимума стандартного отклонения. Я воздержусь от комментариев, лучше покажу вам результат и выпью своего пива.

Изолинии по растру направления минимума стандартного отклонения на фоне изолиний SRTM (черные линии):

Гораздо понятнее обстоят дела с ранговым фильтром. Просто указываете ранг сатистики и извлекаете пиксели с нужными значениями. Вот, например, медиана

Изолинии из результата фильтрации (50-й ранг) на фоне изолиний SRTM:

На этом все.

Э, да я смотрю вас не наебешь. Действительно, а как же дивергенция градиента значений растра? Вообще физический смысл лапласиана достаточно условен, типа значений концентрации градиента. Но в нашем случае ситуация проще. Фильтр Лапласа выделяет контуры на растре. В итоге имеем следущее:

Да прибудет с нами псевдоцвет растра итогов применения фильтра Лапласа!

Ну и горизонтали, само-собой. Хотя, это все-таки не горизонтали, а просто изолинии.

Хотя, конечно, проще всего использовать простой фильтр. Особенно, если вы хотите строить горизонтали.

А еще проще совершенно не использовать фильтр. Я лично нефильтрованному вообще приоритет отдаю, у меня как раз тут еще немного осталось.

Надеюсь, на этом, ваша просьба о фильтрации полностью удовлетворена. Всем присутствующим спасибо. Все недовольные могут пройти нахуй, ибо тут у меня суверенный анархизм: хочешь с Бакуниным бухай, хочешь Вольтариану Де Клер еби. А советы ваши по поводу того, как мне следует статьи писать можете в жопу себе засунуть.

С кем не бывает

Дело было так. Стою на остановке в Тосно, никого не трогаю, жду свой пазик в деревню. Вдруг, чувствую в затылке предательски закололи теплые иголки, в глазах потемнело и ноги потеряли силу как прошлогодний агар-агар. Ну все, думаю, пизда пришла. Тут бы не валиться мешком на заплеванный асфальт, сесть на лавку, принять косоносную с достоинством. А вот хрен там. Все лавки бабками заняты, хули что семь утра на дворе. К тому же дико потянуло блевать, а я ввиду врожденной интеллигентности на остановках блевать не привык, поэтому собрав остатки сил утащил свое туловище за угол и повинуясь окончательной страсти перед закрытой дверью «Евросети»изверг из себя в урну следующее:

Модель Лотки-Вольтерра, хоть и является сугубо теоретической, однако в утрированном виде описывает реальные кривые видового разнообразия, что подтверждается авторами, фамилии которых я сейчас, в таком состоянии и не вспомню. Но дело не в этом. Дело в кривых изменения численности популяций этой модели.

Окажись вы на моем месте тогда, наверняка бы все уже поняли, но в то утро божественные пиздюли предназначались мне в одно ебло, а потому придется напомнить о том, что видовое разнообразие и проективное покрытие живого напочвенного покрова связаны между собой примерно как синусоида с косинусоидой (пример грубый но наглядный). Сущность этой взаимосвязи проста: растительное сообщество есть диссипативная структура с присущей ей зависимостью структурных преобразований от интенсивности проходящего через нее потока энергии. Об этом еще в «Полевой геоботанике» писано, нехуй тут рассусоливать. Увеличение потока энергии приводит к повышению сложности системы, и обратно.

Сложность живого напочвенного покрова слагается из двух факторов: видового разнообразия и проективного покрытия. Тут, следовало бы упомянуть о важности видовой изменчивости, особенности проективного покрытия как критерия оценки и хуево проработанных концепциях вида вообще, но не до того поверьте, когда с незрячими глазами блюешь перед урной «Евросети».

Итак, количество видов и проективное покрытие. Первое не имеет верхнего предела, во всяком случае в существующей парадигме. Проективное покрытие, напротив, не может превышать ста процентов, а все возгласы о перекрытиях можно вертеть на ботаническом хую, ибо при желании вместо проективного покрытия можно рассмотреть его божественный аналог — биомассу и тут же убедиться, что рост ее ограничен физическим пространством. Короче, Склифософский: оба фактора влияют на сложность структуры живого напочвенного покрова, но раз уж область значений функции изменения проективного покрытия от объема поступающей энергии ограничена, то за ее правым пределом (за левым как вы понимаете живого напочвенного покрова вообще нет) сложность структуры зависит исключительно от видового разнообразия. Внутри области значений функции изменения проективного покрытия влияние видового разнообразия на сложность структуры незначительно при низком проективном покрытии, однако возрастает, при покрытии высоком. Проективное же покрытие, напротив по мере возрастания вносит все меньший вклад в увеличение сложности. Говоря языком Гете: «средь пышных травостоев примат разнообразья и похуй густота его сложенья, но средь редин пустынных, обилие лишь важно и до пизды нам все разнообразье».

А вот и она, великая секунда откровения: одна из немногих вещей, за которые я люблю жизнь во всех ее проявлениях. Вы только посмотрите как до кровавых мозолей на глазах похожи кривые Лотки-Вольтерра на кривые изменения видового разнообразия и обилия видов в живом напочвенном покрове! Конечно же, похожесть еще ни о чем не говорит, не тычьте художника в мольберт. Однако, в потенции, это новый взгляд на оценку структурных изменений экосистемы, включая ее животный компонент. Судите сами: те же два параметра. Количество хищников ограничено и не может превышать некоторого предела, после которого эти мудаки выжрут все и подохнут от голода.  Количество жертв тоже не может расти бесконечно, однако в рамках системы, с наличием хищника верхней границей их роста можно пренебречь.  Примитивно говоря: может быть очень много мышей и мало лисиц, но очень много лисиц и мало мышей быть не может, ибо жрать нечего.

Сразу же напрашивается сравнение проективного покрытия с хищником. Юморная, конечно, аналогия, но напомните-ка мне, а не Тильман ли развивал гипотезу о снижении видового разнообразия за счет усиления доминантной роли нескольких видов? И в чем кроется наша уверенность в том, что мы не спутали в очередной раз повод и причину происходящих процессов?

Тут-то меня и отпустило.

Математическая формализация единиц растительного покрова

Математическая формализация единиц растительного покрова

В основе «классических» методов классификации растительного покрова (Александрова, 1969) положены принципы булевой логики, которая опирается на следствие аддитивного свойства множеств (образование непересекающихся подмножеств при делении множества).

Для сложно устроенных (Растригин, 1981) природных систем, характерна не аддитивность, а эмергентность признаков.  Пренебрежение этим фактом ведёт к тому, что растительность внутри синтаксонов недостаточно охарактеризована, либо число синтаксонов неоправданно велико.

Используемые классификации не годятся для количественного представления выраженности тех или иных синтаксонов, что является тормозом для изучения структуры и динамики растительности. Требуется метод разделения растительного покрова на математически формализованные единицы.

Метод классификации растительности, который я предлагаю построен на обобщённом математическом аппарате теории множеств. Характеристика синтаксонов базируется на теории нечётких множеств (Заде, 1976).

Растительное сообщество представляет собой конечную группу, в связи с чем, признается дискретность пространственных границ. В тоже время, растительное сообщество не является примером непрерывного множества, поэтому описать его границу непрерывной, всюду дифференцируемой кривой невозможно. Таким образом, пространственные границы дискретны, но средствами эвклидовой геометрии выразить их невозможно (псевдоконтинуум).

Пространственные границы формализованы как мажорирующий контур растений. Если представить, что для каждой клетки растения характерны три координаты положения и координата времени, то мажорирующий контур будет проходить через клетки с максимальным значением координат. В самом простом случае это будет контур с параметрами равными максимальной высоте, длине и ширине растения, изменяющийся со временем, но сохраняющийся до момента гибели последней особи. В общем же случае, мажорирующий контур представляет собой объект с фрактальными границам.

Биологической основой новой классификации является трансформированный эколого-доминантный метод разделения растительного покрова (Александрова, 1969). Наличие эдификаторных свойств разной силы предполагается у всех особей сообщества. Основанием для выделения единиц растительности является степень обилия видов или групп видов. Она выражается через объем, занимаемый видами в пространстве (заполненность мажорирующего контура).

Основной единицей растительного покрова является специалитет – группа растений одного вида, целиком занимающая в пространстве объём своего мажорирующего контура.

Каждый специалитет обладает свойством истинности, выражающим степень его принадлежности к тому или иному синтаксону. Истинность характеризует степень заполненности мажорирующего контура органами растений. Примером абсолютно истинного  специалитета (истинность равна 1) можно считать накипной лишайник Rhizocarpon geographicum (L.) DC.:

IMG_1332

 

Большинство специалитетов имеет значительно меньшую истинность.  Так расчётная истинность еловых специалитетов на Северо-Западе России составляет в среднем 0,001-0,003.

Специалитеты объединяются в группы. Группы — это комплекс специалитетов в границах мажорирующего контура доминантного специалитета. Во многом этот класс напоминает эколого-ценотическую группу или тип леса в лесной типологии (Федорчук и др., 2005). В естественных лесах Северо-Запада России встречаются лишайниковая, кустарничковая, мелкотравная, неморальная, сфагновая, багульниковая, долгомошная, болотнотравяная, таволжная и приручейная группы (Голубев, 2012). Луга представлены насыпной, влажнозлаковой, злаковой и травяной группами (на основе данных: Нешатаев, Егоров, 2006). Поскольку мажорирующие контуры специалитетов (в том числе доминирующих) пересекаются, зачастую наблюдается пересечение групп.

Группы формируют формы. Формы — комплекс групп, занимающих в пространстве объем, ограниченный мажорирующим контуром групп с единой жизненной формой доминантов. Выделены древесные, кустарниковые, кустарничковые, травяные, моховые, лишайниковые, водорослевые, лиановые, подушковые и гетеротрофные формы.

Если особь вида s одновидового сообщества S={s1, s2, s3,…, sn} представить как множество клеток с параметрами: длина, ширина, высота, время s={(x1, y1, z1, t1) , (x2, y2, z2, t2),…, (xn, yn, zn, tn)}, то понятие специалитета можно формализовать как множество Sp={s1, s2, s3,…, sn}, такое, что:

Дальше в исходном тексте шли формулы, а так-же формализация понятий группы и формы. Но за давностью лет информация проебалась. Если не ошибаюсь, полный текст опубликован в сборнике материалов конференции «Математическое моделирование в экологии», что проходила в Пущино между 2010 и 2014 годами. Там же есть и недостающие формулы. Я их здесь публиковать не буду, поскольку, во-первых, у меня их почему-то нет под рукой, во-вторых, я сейчас еду в уазике и по тряской дороге пью пиво, а в-третьих, хуйню эту все-равно никто читать не будет, так что и так сойдет.

Допустимые пределы использования теории нечетких множеств в экологическом моделировании

Описаны допустимые пределы использования теории нечетких множеств, обусловленные синергетическим эффектом в природных системах

1. Введение

Успешное применение теории нечетких множеств (Заде, 1976) в технике привело к возрастанию популярности нечетких вычислений в других сферах, в том числе в экологическом моделировании. Моделирование растительного покрова с помощью нечетких множеств позволяет объединить континуальный и дискретный подход в рамках одной модели (Голубев, 2012). Это создает ошибочное ощущение универсальности данного подхода. Допустимые пределы использования теории нечетких множеств, как и факторы, обуславливающие эти пределы до сих пор не определены.

2. Применение теории нечетких множеств

Теория нечётких множеств представляет собой развитие классической теории множеств. В отличии от последней, в теории нечетких множеств один элемент может принадлежать одновременно нескольким множествам. При этом степень принадлежности его к тому или иному множеству выражается при помощи функции принадлежности (характеристической функции). Значение характеристической функции обычно является дробным числом в диапазоне от 0 (элемент абсолютно не принадлежит множеству) до 1 (абсолютная принадлежность элемента множеству) (Заде, 1976).

В качестве примера применения теории нечетких множеств в экологических моделях можно привести нечеткую типологию лесов Северо-Запада России (Голубев, 2012). Данная типология основана на новейших лесотипологических исследованиях (Федорчук и др., 2005) и принципах классификации нечетких множеств (Заде, 1976). Серии типов леса в типологии выделяются на основе обилия групп индикаторных видов. Для каждой серии характерна индикаторная группа с уникальным набором видов. Растительное сообщество может одновременно относиться к одной (истинной) серии или нескольким (переходным) сериям. Истинная серия характеризуется присутствием только одной индикаторной группы с суммарным проективным покрытием травяно-кустарничкового и мохово-лишайникового яруса 100 %. Показатель истинности серии рассчитывается как мера количественного сходства (например, коэффициент Чекановского (Словарь…, 1989)) между рассматриваемым растительным сообществом и истинной серией типа леса.

Одним из ключевых преимуществ такой типологии является возможность обоснованной интерполяции данных. Зная значение индикационных параметров (например, агрохимических почвенных показателей) в истинных типах леса (или типах с известной истинностью), мы можем рассчитать эти параметры для произвольного участка леса на основе его нечетких лесотипологических показателей (близости к тому или иному типу леса). Результаты расчетов будут содержать погрешность, иногда значительно искажающую результаты. Основной причиной данной погрешности является неприменимость теории нечетких множеств к описании природных систем, которая проявляется в возникновении синергетического эффекта при объединении различных множеств природных объектов.

3. Синергетический эффект при объединении нечетких множеств

Синергетический эффект — эффект взаимодействия нескольких систем, характеризующийся тем, что их совместное действие существенно превосходит простую сумму действий каждого отдельного компонента (Жилин, 2004). Частным случаем синергетического эффекта является эмергентность — свойство факторов образовывать при совместном влиянии новый фактор, отличный от исходных и от их суммарной мощности.

В нечетком типологическом ряду «лишайниковая-кустарничковая-мелкотравная» (серии типов леса) (Голубев, 2012), кустарничковая серия не является простой механической смесью лишайниковой и мелкотравной серий. В связи с этим индикационные показатели, рассчитанные на основе близости кустарничкового типа леса к лишайниковому и мелкотравному будут содержать определенную ошибку. Величина этой ошибки может быть использована как показатель мощности синергетического эффекта: чем больше расхождение реальных данных с расчетными, тем менее сообщество похоже на механическую смесь других растительных сообществ (и тем менее применимы к нему разработанные для других типов леса хозяйственные мероприятия).

4. Расширение пределов использования теории нечетких множеств

Из приведенного примера следует, что теорию нечетких множеств допустимо применять лишь для систем с незначительным синергетическим эффектом. С более примитивной лесохозяйственной точки зрения это устранимо за счет введения поправочных коэффициентов, рассчитанных указанным методом для каждого из типов леса. В то же время, невозможно построение на основе теории нечетких множеств аппарата, пригодного для анализа состояний детерминированного хаоса в природных системах.

Математическим аппаратом, расширяющим теорию множеств может служить аппарат субъективных вычислений, в котором изменение характеристической функции принадлежности элемента к одному из двух подмножеств не влияет на характеристическую функцию принадлежности элемента ко второму подмножеству.

5. Выводы

Применение теории нечетких множеств допустимо в системах с пренебрежимо малым синергетическим эффектом объединения систем. Ограниченно эту теорию допустимо использовать в практической деятельности с использованием поправочных коэффициентов на синергетический эффект (эти же коэффициенты возможно использовать в качестве меры тесноты взаимосвязи элементов в растительном сообществе). Для характеристики состояний детерминированного хаоса в экологических моделях применение теории нечетких множеств недопустимо.