Картографическая шутка от Шелдона Купера

Картографическая шутка от Шелдона Купера

В одной из серий «Теории большого взрыва» на Шелдоне футболка с принтом карты в проекции Миллера. Сцена настолько возмутительна, что сразу ощущаешь подвох. И не зря.

Для принта какую проекцию не возьми — все плохи. Либо Чукотка с Аляской в подмышки залезают, либо выглядит так, словно рисовали проекцией Штаба-Вернера. Невольно размышляешь о методе проецирования сферы на одежду, а лучше в обобщенном случае: на произвольную ограниченную плоскость.

Можно покрыть сферу и плоскость сеткой с равным количеством узлов, а затем увеличивать количество узлов до бесконечности как в методе Монте-Карло. Но это выглядит уродливо, модники нас не поймут.

Гораздо разумнее представить футболку как деформированную сферу и спроецировать одну поверхность на другую так, чтобы в разрывах рукавов, ворота и основания футболка сохраняла исходные значения. Это легко можно сделать если выразить исходную сферу как множество вещественных чисел, а сферу футболки как множество комплексных чисел. Тогда ткань футболки будет соответствовать подмножеству комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Шутка в том, что в разрывах майки находится Шелдон — персонаж с невырожденной мнимой частью, окруженный вещественным миром. Опять-же, трудный для понимания, лишний в обыденных расчетах, но в серьезных задачах незаменимый. Снимаю шляпу перед режиссером и костюмером.

Но главный секрет в том, что проекция Меркатора со всеми ее производными (включая проекцию Миллера) представляет собой деформированную сферу Римана, точка бесконечности которой равноудалена от остальных точек. Для двумерной сферы это возможно сделать лишь поместив точку бесконечности в центр шара, ограниченного исходной сферой.

Логично предположить, что для проекции трехмерной сферы потребуется дополнительное измерение. Проще говоря: у жителей пятимерного пространства-времени на бумажных картах реки текут и машинки ездят. Если, конечно допустить, что они картируют автомобили. Роль наблюдателя тоже придется игнорировать, но все-равно, я обожаю такой юмор.

Четвертая координата

Четвертая координата

Если кто-то, описывая четырехмерное пространство, упоминает время, можете не сомневаться, вместо мозгов у него кисель. Это столь очевидно, что даже кошка Копейка понимает. Но давайте прикинемся дурачками и сделаем вид, словно не замечаем вопиющего бреда, а просто размышляем о реальности четырехмерного пространства-времени.

Начнем с трех координат. Одно из главных свойств пространства — взаимозаменяемость осей. Нет никакой разницы, что именно мы считаем шириной, что длиной, что высотой. Высота лежащего коробка спичек один сантиметр, поставленного вертикально — пять сантиметров. Значения каждой координаты зависят не от самого объекта, а от значений прочих координат. Объект всегда можно повернуть и поменять местами, к примеру, ширину с высотой.

Размерность поверхности тел на единицу меньше размерности самих тел. Круг плоский, окружность линейна. Шар объемный, сфера представляет плоскость. Не важно, чего именно нет у сферы: длины, ширины или высоты, главное, что координат всего две.

Если допустить, что четвертым измерением является время, неизбежно приходим к прискорбному дуализму. Либо мы должны согласиться с тем, что объект в четырехмерном пространстве можно повернуть таким образом, что для его поверхности не будет существовать время, либо вынуждены признать, что добавление четвертой координаты принципиально меняет свойства пространства.

Первый случай допустим лишь когда под временем понимается нечто совершенно отличное от нашего повседневного представления. С тем же успехом, можно назвать четвертую координату красотой или сковородкой. Второй случай свидетельствует об ошибочности всех обобщенных многомерных моделей. Поскольку ни первое, ни второе смысла не имеет, остается признать, что идея рассматривать интуитивно понимаемое время в качестве четвертой координаты неверна.

Тут бы взять и описать, что-же такое время и как четырехмерное пространство представить, но пока я чай заваривал Копейка на моем стуле спать улеглась. А стоя печатать мне неудобно.