Самоподобный грех

Самоподобный грех

На днях в компании протосвященника сжигали в костре яичную скорлупу, религиозные тексты и разный культовый мусор. Вероятно это некий православный обычай, тут я не силен, да и речь о другом. В перерыве между подкладыванием дров и распитием полторашки разговор коснулся топологической природы греха.

Грех дискретен или континуален? Если его моделировать, какой метод будет предпочтительнее: диффуры или теория катастроф? В процессе созерцания огня мне разъяснили матчасть. Понял я не все, но выводы сделал любопытные.

Оказывается, каждый грех обладает некоторой степенью. Именно степень определяет величину греха, а следовательно греховно абсолютно все, вопрос лишь в масштабах. Я не знаю как быть с благодеяниями: умножать на минус единицу или благодеяние это тоже грех, но под корнем, однако ясно, что существуют нейтральные поступки, которые не являются ни грехом, ни благодеянием. Предположив, что имеет место сложение и умножение грехов, а также справедливость коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов (последнее утверждаю на основе эмпирических наблюдений), рискну предположить, что религиозное понятие греха с математической точки зрения представляет собой алгебраическое кольцо. Еще бы вспомнить примеры идеала греха и греховного гомоморфизма.

С топологическими свойствами сложнее. Я пытался спросить о самоподобии греха, но встретил непонимание. Будучи полным невеждой в религиозных вопросах, полагаю, что проблема непрерывности греха вызвана не его особой сущностью, а ошибочным применением геометрии. Если выражать пространство греховности через размерность Минковского или Хаусдорфа-Безиковича, а величину греха через эвклидову размерность мы получим наблюдаемую картину таинственности.

Конечно, подобные размышления — полный бред. Я с этим согласен. Для описания греха следует не впадать в ересь, а использовать теорию Лотфри Заде. Но проблема нечетких вычислений в том, что они не устраняют вопросы, а лишь отодвигают их на другой уровень. Хорошо, мы выразим грех через характеристическую переменную, но сама переменная относится к какому множеству?

Многие возмущаются урокам веры в школах, а зря. Может посещай в свое время такие уроки, я бы глупых вопросов не задавал. В прошлом году в Ессентуках посетил церковь и спросил, квантуется ли грех? Ничего не сказали, но посмотрели как на полного идиота. Видимо, очевидный ответ на этот вопрос понятен всем, кроме меня.

Перемена мест

Перемена мест

За окном дождь, капли играют на профлисте и зябко выходить. Лучшее время подумать о коммутативном законе. О том самом, что со школьных времен учит человека безысходности. Зачем, спрашиваю, было пересаживать с одной парты за другую, если результат все-равно перед глазами. Вот он, на пожелтевшем плакате нарисован.

Судьбу человека можно рассмотреть как абелеву группу, но если не откапывать корни рефлексии, то заметно: коммутативный, он же переместительный закон очень непрост. Для примера возьмем простую картографическую загадку — каким окажется изображение после взаимной замены координат на каналы растра?

Возьмем ETOPO2, WTB и полигональную сетку. Для каждого полигона рассчитаем координаты центроида, добавим в таблицу зональную статистику по трем каналам и медианную высоту полигона. Нормализуем все к общему диапазону, а после значения каналов используем вместо координат, а значениями координат определим яркости пикселов. По всем здравым рассуждениям на выходе должна получиться шумная ерунда, словно помехи в телевизоре. Но на самом деле вы увидите знакомые очертания континентов.

Понятно, что мы лишь поменяли значения местами, а значит результат должен остаться прежним. Но вот прежним ли? В этом прилагательном вся загвоздка, поскольку оно подразумевает сравнение, а значит и неизбежные проблемы.

Оставим пока в стороне топологические казусы и представим иностранца, который знает лишь два русских слова: «прежде» и «временно». С его точки зрения, коммутативный закон верен. Меняй слова местами — смысл все-равно неизменен. Но мы ведь разницу знаем. Можно еще пробелы убрать, но тогда уже разговор про ассоциативный закон пойдет.

Теперь рассмотрим обобщенный случай, где иностранцем выступаем мы, а русским языком математические объекты. Даже не функторы или стрелки, а хотя бы простые числа. Слишком уж подозрительно, что сумма тройки и пятерки равна сумме пятерки и тройки.

Понятно, что в конечном итоге все сведется к вопросу парадигмы, достаточности и здравого смысла. А если бы я сейчас не любовался в одиночестве фазаном, который на фоне дождливых сумерек выклевывает с огорода семена, то еще и спорами про неполноту и аксиому выбора. Разве найдешь сейчас подходящее время и место для размышления о мутабельности элементарных объектов?

Кошка спит, свернувшись калачиком. Темнеет. Словно действительно ничего не происходит от перемены мест. Вопрос лишь в том, есть ли эта перемена.

О двух милиционерах

Начну сам себе противоречить, но факт есть факт. Лучше всего начинать свое дело с регистрации компании, спортом заниматься с понедельника и садиться на диету первого числа весеннего месяца. «Как же так?» — спросите вы, ведь это противоречит всем современным методикам становления «успешного человека»?

Противоречит, но работает. Может от того, что обратного пути не остается, может от того, что считать легче, а может от того, что опыт Юнга даже в макромире работает. Мышление устроено своеобразно. Давно заметил: если не пишется текст, достаточно переодеться, если никак не разобрать коллекцию перьев — достаточно подстричься, если не заставить себя ложиться с заходом солнца — достаточно обнаружить на календаре первое число.

А еще я давно заметил, что любой бытовой вопрос в обобщенном случае обязательно сводится либо к физической, либо к математической проблеме. Начинаешь вечером размышления с мысли «какого хрена я не могу вовремя спать лечь», а заканчиваешь утренним вопросом «вероятностна ли вероятностная природа мира?».

В этой связи прошу советов у асов матана: что рекомендуете почитать по вопросу обобщения теоремы о двух милиционерах?

Четвертая координата

Четвертая координата

Если кто-то, описывая четырехмерное пространство, упоминает время, можете не сомневаться, вместо мозгов у него кисель. Это столь очевидно, что даже кошка Копейка понимает. Но давайте прикинемся дурачками и сделаем вид, словно не замечаем вопиющего бреда, а просто размышляем о реальности четырехмерного пространства-времени.

Начнем с трех координат. Одно из главных свойств пространства — взаимозаменяемость осей. Нет никакой разницы, что именно мы считаем шириной, что длиной, что высотой. Высота лежащего коробка спичек один сантиметр, поставленного вертикально — пять сантиметров. Значения каждой координаты зависят не от самого объекта, а от значений прочих координат. Объект всегда можно повернуть и поменять местами, к примеру, ширину с высотой.

Размерность поверхности тел на единицу меньше размерности самих тел. Круг плоский, окружность линейна. Шар объемный, сфера представляет плоскость. Не важно, чего именно нет у сферы: длины, ширины или высоты, главное, что координат всего две.

Если допустить, что четвертым измерением является время, неизбежно приходим к прискорбному дуализму. Либо мы должны согласиться с тем, что объект в четырехмерном пространстве можно повернуть таким образом, что для его поверхности не будет существовать время, либо вынуждены признать, что добавление четвертой координаты принципиально меняет свойства пространства.

Первый случай допустим лишь когда под временем понимается нечто совершенно отличное от нашего повседневного представления. С тем же успехом, можно назвать четвертую координату красотой или сковородкой. Второй случай свидетельствует об ошибочности всех обобщенных многомерных моделей. Поскольку ни первое, ни второе смысла не имеет, остается признать, что идея рассматривать интуитивно понимаемое время в качестве четвертой координаты неверна.

Тут бы взять и описать, что-же такое время и как четырехмерное пространство представить, но пока я чай заваривал Копейка на моем стуле спать улеглась. А стоя печатать мне неудобно.

Велик и могуч

Велик и могуч

В старинном споре о русскости тех или иных слов, единственный разумный подход озвучила писательница Татьяна Никитична Толстая. Если слово подчиняется правилам русского языка, то он русское. Компьютер, онлайн, менеджер, ресерч — безусловно русские слова. Шоу, жабо, метро — нерусские. Фраза «менеджериха ресерчила в онлайне» непривычна, но вполне укладывается в нормы языка, а вот «мы устроили шоу» — это иноязычная хрень.

Любопытно, что четкого деления на русские и нерусские слова нет, поскольку полно частично обрусевших слов. Например, «парсить». Попробуйте сделать из этого глагола существительное, а лучше в уменьшительно-ласкательной форме. При этом «парсить» и «распарсить» означают совершенно разные вещи.

Кто-то наверняка уже догадался, что этот текст не про лингвистику. Но если думаете, что намекаю на этнические проблемы, то ошибаетесь. Всего-навсего, хотел показать, как у одного и того-же объекта могут проявиться свойства дискретности и континуальности в зависимости от контекста. Несложная игра ума приводит к простым вопросам: дискретно ли время? Дискретно ли пространство?

А как быть с дискретным пространством, промежутки между элементами которого бесконечно малы? А еще когда бесконечно малы сами элементы? И вообще, останется ли понятие дискретности прежним, если в качестве метрики разрывов использовать не меру, а мощность множества?

Действительно, велик и могуч русский язык.

Парабола и гипербола

Необычайно много людей путают между собой параболу и гиперболу. Это неудивительно, ведь в школе объясняют, что парабола — это x^2, а гипербола — это k/x. Забросишь математику на неделю и уже где парабола, где гипербола хрен разберешь.

А запомнить просто. В обоих словах есть «бола», которая напоминает «ball» — мяч. «Пара» переводится как «около». Вспомните паранормальные явления — явления которые находятся рядом с нормальными, хоть и не составляют с ними одно целое. Летающий по кухне миксер — это паранормальное явление, а НЛО — нет. Парабола — это траектория около мяча. Почти орбита.

«Гипер» означает «над» или «сверх». Гипермаркет — это сверхмагазин. Гипербола — это траектория над мячом, сверх его. Немного приблизились и полетели дальше.

В этом посте все неправильно: паранормальщина — это бред, перевод неправильный, формулы примитивны, картинка неполна. Зато теперь вы никогда не спутаете параболу и гиперболу.

Теория категорий

Главный минус математической литературы в том, что она напоминает карьер: три метра воды по щиколотку, а дальше обрыв и бездна. Выглядит это примерно так:

— Сегоня мы поговорим о теории категорий. Представьте, что у вас есть только объекты, неважно какие. У объектов есть стрелочки, которые соединяют эти объекты. Не ищите смысл стрелочек, это все абстракция. Стрелки можно сочетать друг с другом в единую композицию. Еще у каждого объекта есть единичная стрелка, которая указывает на объект из которого выходит. Кроме того, для стрелок действует ассоциативный закон, то есть (g°f)°h = g°(f°h). Если все условия выполняются, то перед вами категория. Способ отображения одной категории в другую называют функтором. Понятно?
— Да
— Хорошо, тогда давайте с помощью коммутативной диаграммы проверим наличие изоморфизма в системе категорий, которая содержит свободный моноид.

Из-за этой математической особенности никогда не знаешь, что перед тобой за работа: дверь в невероятный новый мир или макулатура для туалета. Пока не потратишь кучу времени и сил — не поймешь. Кстати, если перед вами откроется возможность изучить теорию категорий — не пренебрегайте. Это не просто, по крайней мере, я еще не встречал автора, который мог бы столь виртуозно описать теорию категорий как Мандельброт свои фракталы, Фейгенбаум свои удвоения бифуркаций, Заде свою жену или Хакен свою имитацию науки.

Зачем это нужно? — спросите вы. Ну хотя-бы для того, что-бы в полной мере понимать простое типизированное лямбда исчисление или теорию множеств. На худой конец, для того, что-бы объяснить своим детям понятие умножения. В конце-концов, существует некоторый общекультурный уровень и он, к сожалению, не так уж высок. Никто не требует от обывателя знания правил перемножения топологических пространств, но если перед вами человек с высшим образованием, который никогда не слышал даже словосочетания «теория категорий» — плюньте в рожу этой собаке дикой.

Кстати, вы только что прочли базовые понятия этой теории.

Егор Яковлевич

События последних дней служат очередным доказательством: большинство людей — клинические идиоты. Стоит ли удивляться тому, что на роли выдающихся деятелей толпа выдвигает равных себе, в то время как настоящие революционеры почти неизвестны?

Звучит пафосно, но то, что сделал Георг Кантор — это и есть революция. Открытие более страшное, чем сама смерть. Смерть — что? Помер и дальше бесконечное небытие исходя из ваших религиозных предрассудков. Главное — бесконечность. Грешники будут сидеть в котлах ровно такое количество времени, которое святые проведут в раю, это следует хотя-бы из того, что последний день в аду представляет собой трансфинитный ординал множества всех дней после смерти.

Это даже успокаивает, если не знать о том, что в конце девятнадцатого века Кантор описал бесконечные последовательности с разной мощностью. Натуральных чисел больше чем четных. Длина луча меньше длины прямой. Если вас будут выпускать из ада по выходным, вы все-равно проведете там вечность, но она отнимет у вас на две седьмых меньше времени.

Кто-то спросит в это месте: «И что с того? Мало ли кто чего открыл?». Это верно, парадокс Галилея был известен давно, и вообще вопросы бесконечности поднимали все кому не лень: от древних греков, до Вейерштрасса и Дедекинда. Но именно Кантор в полной мере показал, что существует не чудовище в лице бесконечности, а бесконечное количество чудовищ, которые можно приручить. И словно в насмешку над собой опубликовал за пару лет до Рассела (того, который все хотел запустить на орбиту чайник) парадокс, который опровергнул созданную им теорию.

В итоге все закончилось тем, чем и должна завершаться любая революция. Наступил грандиозный кризис в математике. О том, что-бы пересмотреть всю математику заново, страшно было подумать. Тем более, еще свежа была память о Фридрихе Фреге, который закончив логическое обоснование математики сдал рукопись в набор и только после этого получил письмо в котором несколькими строчками опровергались все его результаты. Для преодоления возникших проблем Эрнст Цермело и позднее Абрахам Френкель взялись за создание новой аксиоматики, которая позволяла бы исключить парадоксы в канторовой теории множеств. Аксиоматику Цермело-Френкеля мы используем и сегодня, то включая, то исключая из нее аксиому выбора.

Только несколько десятилетий спустя великий Николя Бурбаки решил навести в математике окончательный порядок, переложив ее на обновленную теорию множеств Кантора. Для этого потребовалось два десятка томов. Каждый из них идеально подходит для чтения на необитаемом острове, поскольку даже для того, что-бы объяснить понятие единицы, автору потребовалось двести страниц выкладок. И те приведены с оговоренными сокращениями. В итоге работа так и не была завершена, но это не так уж важно. Главное — кризис был преодолен, а после выхода «Фрактальной геоиетрии природы» Мандельброта напоминание об этом расползлось по тысячам психоделических картинок и наукообразных статей.

Сегодня, когда я встречаю формулы расчета коммунальных тарифов, банковские контракты либо иную бытовую математику, невольно думаю, знают ли авторы всех этих чудесных документов о том, что мы живем в мире доказанной теоремы Банаха-Тарского, согласно которой из разделенного на части трехмерного множества можно сформировать два подмножества идентичных исходному. Или о том, что перед нами вселенная алгебры с ее кольцами, полями, идеалами и бесконечностью элементов, которым и названия пока нет, а мы укрылись на маленькой планете и обсуждаем очередное пустое множество.

От таких мыслей лицо мое неизменно приобретает глупый вид, отчего окружающие начинают торопить и я нет-нет, да и сделаю где-то глупую ошибку. А всему виной старик Георг, записанный в домовой книге дома по одиннадцатой линии Васильевского острова в Петербурге как Егор Яковлевич Кантор. Из-за него приходится выбрасывать исписанный бланк и начинать новый. Но я не в обиде.

Вопрос о простых числах

Поскольку идти в такую погоду на рыбалку нет никакого смысла, я решил посвятить выходные изысканиям в области простых чисел и обнаружил в подмножестве из первых 1229 элементов пару занятных вещиц.

Во-первых, если отсортировать все числа по возрастанию суммы последней цифры и итеративной суммы цифр простого числа, то разница между последующим и предыдущим простым числом будет в большинстве случаев кратна девяноста. Исключения составляют лишь наименьшие числа в группах (например 73 — наименьшее число в группе чисел, для которых сумма итеративной суммы цифр (= 1) и последней цифры (3) равна четырем). Таких исключений всего несколько десятков. Кроме них несколько раз встречаются числа 38 и 81.

Во-вторых, результатом деления простого числа на девять является периодичная дробь, в которой величина периода равна итеративной сумме цифр в числе (например, 83/90 = 9.2222(2); 8+3=11 -> 1+1 = 2) Проверил утверждение на рекорде Эйлера, который выходит за границы моего множества (простое число 2147483647) — все сходится.

Об этом можно догадаться и без всяких изысканий, поскольку простые числа это подмножество натуральных, а натуральные мы используем в десятичной нотации. Кроме того, итеративная сумма цифр представляет собой кардинал числа, представленного в виде множества, а само число есть кардинал числа в виде множества в котором все подмножества развернуты. Поскольку отношение любой цифры к девяти дает периодичную дробь, период которой соответствует позиции цифры в ряду, отношение числа к девяти дает нам дробь с периодом в виде итеративной суммы всех цифр числа.

Роль простых чисел в этом все-равно понятна не до конца, но любопытно другое: понятие числа можно представить в виде циркулярной модели в которой каждое натуральное число в десятке представляет собой часть четверти окружности, разбитую на четыре части. Возникает вопрос: действительно ли каждое натуральное число можно представить в виде суммы четырех простых чисел и единицы?

Это не проблема Гольбаха, но тоже неплохое развлечение для выходных. Главное не забыть про то, что все должно происходить в равномерном пространстве без разрывов.

Обильные фильтруации

Я вертел на имморалистическом хую все советы о том, как следует писать эти очерки. Но вы так часто просите меня фильтровать посты перед публикацией, что на этот раз я не сдержался и пошел у вас на поводу.

Буду фильтровать. Начну с фрагмента снимка SRTM:

Ну а хули елозить-то? Фильтровать — так фильтровать. К великой моей печали, вы в просьбах своих нихуя не говорите о предпочтительных способах фильтрации. Что-ж, поэкспериментируем, дабы никто не ушел обиженным.

Начнем с DTM-фильтра, в основе которого лежит статья Георга Фоссельмана. Технология фильтрации основана на предположении о том, что резкий перепад значений высоты на незначительном пространстве DEM-растра свидетельствует не об особенностях рельефа, а о наличии объектов местности, искажающих ЦМР. Проще говоря, если на левом пикселе высота десять метров, а на правом тридцать, то скорее всего на местности в данных точках вы вместо обрыва/карьера увидите стену леса, здание или другую нерельефную ебанину. Фильтр просматривает растр скользящим окном заданного радиуса и отделяет области с уклоном выше указанного. При соответствующих настройках, этот фильтр позволяет не только отделить неестественные превышения, но и разделить растр на слои равнин и уклонов.

На демке с территорией города Шахты, алгоритм фильтрации сбоит на терриконах и отвалах. Впрочем, на таких масштабах уместнее использовать вместо SRTM растры ASTER GDEM. На моем фрагменте все работает прекрасно. Вот вам равнины:

А вот уклоны свыше тридцати градусов:

Главное, помните фильтр только отделяет одни пиксели от других. Дать физическое объяснение результата — уже ваша задача. Вот какого хрена на острове Поперечном такие уклоны? Он же ровный как блин. У меня даже фоточка есть:

Чаще всего подобные искажения возникают за счет растительности. Отделить ее от рельефа практически невозможно. Но если на плакорах с этим можно почти смириться (нужно только забыть про разницу в возрастах, бонитетах, наличие дорог, лугов, болот и полей, ветровалы, бобров, пожары, рубки и усыхания), то получить детальную ЦМР для склонов долин обычно затруднительно. Да чего объяснять-то? Каждый из вас наверняка видел такую взаимосвязь растительности и рельефа:

Но хватит, уже про DTM. Вы можете подумать, что у меня нет чувства такта. Фильтр комочков (Filter clumps — да простят меня профессиональные переводчики) отсеивает связанные пикселы с единым значением, превышающие заданную площадь. Например, вот области в которых соприкасается не менее тридцати пикселов с единым значением высоты:

Мажоритарный фильтр (majority filter) делит растр на сегменты указанного размера. В каждом из них вычисляется значение большинства пикселов, которое впоследствии экстраполируется на всю область. В результате имеем следующее:

Исходный SRTM в приближении:

Результат работы мажоритарного фильтра в том же экстенте:

  • Для понимания, на рисунке ниже черные изолинии с SRTM наложены на красные изолинии с отфильтрованного растра. Результат налицо:

Морфологический фильтр, точнее фильтры. Спешу огорчить всех натуралистов. Умойтесь, к геоморфологии эти фильтры не имеют никакого отношения, даже несмотря на их специфические наименования. Базовых морфологических фильтров два: дилатация и эрозия. Кроме того, активно используются фильтры замыкания и размыкания. В первом применяется сначала дилатация, затем эрозия, во втором — наоборот. Нихрена не понятно? Не проблема. Вот вам иллюстрированная классификация. Основана на лучших моих художественных скиллах вкупе с простейшим графическим редактором:

При дилатации  происходит расширение пикселей, в результате которого изображение становится более светлым и размытым:

Красные линии — горизонтали с растра дилатации, черные — горизонтали SRTM:

При эрозии происходит обратный процесс. Однородные области увеличиваются в размере за счет подавления шума между ними.

Красные изолинии с растра эрозии на фоне черных горизонталей SRTM

Это размыкание

с горизонталями

А это замыкание

с горизонталями

Все, хватит про морфологические фильтры. Это банально и скучно. Самое время испить из фрактальной реки и вспомнить про богов алеатики. Дамы и господа! Леди и джентельмены! Мудачье! Специально для вас, Карл Гаусс со своим фильтром!

— ээээээ, а где растр то?

А не будет растра. Ибо визуально после применения фильтра различия почти не отличить. Суть фильтра в отсеивании областей с заданным стандартным отклонением. Что-бы вы не расстраивались вот вам картинка с изолиниями (standart deviation = 1):

Фильтр Ли. Это к китайцам не имеет никакого отношения, просто я в душе не ебу, как перевести «Multi direction lee filter» на адекватный русский язык. Более того, я с трудом понимаю что это вообще такое, а для чего это — не понимаю вообще. Но раз уж зашла речь про фильтрацию, грех не рассказать про эту хрень.

Фильтр разделяет растр на три дочерних: результат фильтрации, растр минимума стандартного отклонения и растр направления минимума стандартного отклонения.

Результат фильтрации визуально от оригинала не отличим:

Минимальное стандартное отклонение. Тут все почти просто, если найти мануал, объясняющий значение прилагательного «минимальное».  Результирующий растр в псевдоцветах выглядит так (чем краснее, тем выше стандартное отклонение):

Слой изолиний в той же палитре:

Но самое интересное — направление минимума стандартного отклонения. Я воздержусь от комментариев, лучше покажу вам результат и выпью своего пива.

Изолинии по растру направления минимума стандартного отклонения на фоне изолиний SRTM (черные линии):

Гораздо понятнее обстоят дела с ранговым фильтром. Просто указываете ранг сатистики и извлекаете пиксели с нужными значениями. Вот, например, медиана

Изолинии из результата фильтрации (50-й ранг) на фоне изолиний SRTM:

На этом все.

Э, да я смотрю вас не наебешь. Действительно, а как же дивергенция градиента значений растра? Вообще физический смысл лапласиана достаточно условен, типа значений концентрации градиента. Но в нашем случае ситуация проще. Фильтр Лапласа выделяет контуры на растре. В итоге имеем следущее:

Да прибудет с нами псевдоцвет растра итогов применения фильтра Лапласа!

Ну и горизонтали, само-собой. Хотя, это все-таки не горизонтали, а просто изолинии.

Хотя, конечно, проще всего использовать простой фильтр. Особенно, если вы хотите строить горизонтали.

А еще проще совершенно не использовать фильтр. Я лично нефильтрованному вообще приоритет отдаю, у меня как раз тут еще немного осталось.

Надеюсь, на этом, ваша просьба о фильтрации полностью удовлетворена. Всем присутствующим спасибо. Все недовольные могут пройти нахуй, ибо тут у меня суверенный анархизм: хочешь с Бакуниным бухай, хочешь Вольтариану Де Клер еби. А советы ваши по поводу того, как мне следует статьи писать можете в жопу себе засунуть.